Titelaufnahme

Das Ziel der Arbeit ist die Gewinnung von Aussagen zur Klassifizierung von Parkettsystemen über dem d-dimensionalen kubischen Gitter als mehrdimensionale topologische dynamische Systeme. Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht die Charakterisierung der topologischen Entropie als wichtige Invariante bezüglich topologischer Konjugiertheit sowie die Aufklärung der topologischen Faktorstruktur von Parkettsystemen. Dabei soll vor allem die geometrische Struktur der Parkettierungen berücksichtigt werden. Dazu erfolgt eine Einschränkung der Betrachtungen auf die Klasse der Quadersysteme als eine geometrisch einfach zu beschreibende Teilklasse. Das 1. Kapitel beinhaltet die Einführung wesentlicher Begriffe und Aussagen zum Zusammenhang von Parkettsystemen und Punktkonfigurationenräumen im Sinne von D.Ruelle. Es wird insbesondere auf den Unterschied in der Nutzbarkeit eines Matrixkalküls zwischen den Dimensionen d=1 und d>1 eingegangen. Kapitel 2 widmet sich der Untersuchung der topologischen Entropie der Shift-Wirkung auf d-dimensionalen Quadersystemen. Für die Gitterdimension d=1 werden auf der Grundlage einer Eigenwertgleichung Systeme gleicher Entropie charakterisiert. Für Gitterdimensionen d>1 wird die Frage nach der Struktur von Quadersystemen verschwindender Entropie beantwortet. Darüber hinaus wird ein Verfahren zur Gewinnung oberer und unterer Schranken für die Entropie beliebiger mehrdimensionaler Quadersysteme entwickelt. Gegenstand des 3. Kapitels ist die Untersuchung des topologischen Faktorbegriffs für die Klasse der d-dimensionalen Quadersysteme. Unter Verwendung bekannter Resultate zum Zusammenhang von Periodizität, topologischer Entropie und Faktorbegriff für ein-dimensionale Systeme wird eine vollständige Charakterisierung von Faktorbeziehungen zwischen ein-dimensionalen Quadersystemen angegeben. Desweiteren wird die Existenz von Faktor-Quadersystemen der Entropie Null für Quadersysteme beliebiger Dimension untersucht. Dabei werden wesentliche qualitative Unterschiede in der Faktorstruktur von Systemen der Gitterdimension d>1 gegenüber d=1 deutlich. In Kapitel 4 wird der Begriff der selbstaffinen Parkettierung auf dem kubischen Gitter eingeführt. Das von einer selbstaffinen Parkettierung erzeugte Teil-Parkettsystem wird als eindeutig ergodisch charakterisiert und auf maßtheoretische Mischungseigenschaften untersucht.

The aim of this work is to gain statements on the classification of tiling systems over the d-dimensional cubic lattice as more-dimensional topological dynamical systems. In the centre of consideration is the characterization of topological entropy as an important invariant with respect to topological conjugacy as well as the clearing up of the structure of tiling systems regarding to topological factors. Above all, the geometric structure of the tilings should be used for it. For this purpose the considerations are restricted to the class of cuboid systems as a geometrically simple describable subclass. Chapter 1 contains the introduction of essential notions and statements on the connection between tiling systems and point configuration spaces in the sense of Ruelle. In particular, we go into the difference of the usefulness of a matrix calculation between dimension d=1 and d>1. Chapter 2 is devoted to the investigation of topological entropy of the shift-action on d-dimensional cuboid systems. For lattice dimension d=1 on the basis of an eigenvalue equation systems of equal entropy are characterized. For dimensions d>1 we answer the question after the structure of cuboid systems with zero entropy. Further there is worked out a method to obtain upper and lower bounds for the entropy of any more-dimensional cuboid system. In chapter 3 there is investigated the notion of topological factor for the class of d-dimensional cuboid systems. Using well-known results on the connection of periodictiy, topological entropy and factor notion it is given a complete characterization of factor relations between one-dimensional cuboid systems. Further it is investigated the existence of factor cuboid systems with zero entropy for cuboid systems of any dimension. As a result, essential qualitative differences between systems of dimensions d>1 and d=1 in their structure with respect to topological factors become clear. In chapter 4 there is introduced the notion of a self-affine tiling over the cubic lattice. The sub-tiling system which is generated by a self-affine tiling is shown to be uniquely ergodic. Mixing properties of the measuretheoretical dynamical system are investigated.