Wir entwickeln und evaluieren eine Linienmethode (MOL) für die Simulation von Taxis-Diffusions-Reaktions (TDR)-Systemen. Diese zeitabhängigen PDE-Systeme treten bei der Modellierung der räumlich-zeitlichen Entwicklung von Populationen von Organismen auf, die sich in direkter Antwort auf z.B. Konzentrationsunterschiede in diffundierenden Chemikalien in ihrer Umgebung bewegen (Chemotaxis).Beispiele sind Musterbildungsvorgänge und verschiedene Prozesse in der Tumorentwicklung. Der Taxiseffekt wird durch einen nichtlinearen Advektionsterm im TDR-System modelliert (Taxisterm). Die MOL-ODE erhalten wir durch Ersetzen der Ortsableitungen im TDR-System mit Finite-Volumen-Approximationen. Diese beachten die Massenerhaltungseigenschaft des TDR-Systems und sind so konstruiert, daß die MOL-ODE eine nichtnegative analytische Lösung besitzt (Positivität). Letztere Eigenschaft ist natürlich (da Dichten/Konzentrationen modelliert werden) und sehr wünschenswert (da negative Lösungswerte stabile Reaktionsterme in instabile verwandeln können). Diffusions- und Reaktionsterme können durch Standardapproximationen ersetzt werden, um die Positivität zu sichern. Wir verwenden Upwinding in Kombination mit Limiterfunktionen in der Diskretisierung des Taxisterms, um die Positivität der MOL-ODE zu erzielen. Die Diskretisierung in der Nähe des Randes des räumlichen Gebiets wird diskutiert. Die Angemessenheit der räumlichen Diskretisierung wird anhand eines einfachen Taxisproblems demonstriert (wir geben die exakte PDE-Lösung an). Die MOL-ODE ist steif und hochdimensional. Wir entwickeln Integrationsverfahren, welche die Diskretisierung des Taxisterms und der Diffusions-/Reaktionsterme unterschiedlich behandeln (Splitting). Wir verwenden Operator- (Strang-) Splitting und/oder die Technik der approximierenden Matrixfaktorisierung. Die Splittingmethoden basieren auf expliziten Runge-Kutta (ERK) und linear-impliziten W-Methoden. Positivität und Stabilität der Integrationsverfahren werden untersucht. Wir identifizieren eine ERK-Methode mit vorteilhaften Positivitätseigenschaften. Eine zugehörige W-Methode wird konstruiert. Numerische Experimente mit einer Vielzahl von Splittingmethoden angewendet auf einige semidiskretisierte TDR-Systeme bestätigen die breite Anwendbarkeit der Splittingmethoden und führen zu einer Auswahl effizienter Methoden für die betrachtete Klasse von TDR-Systemen. Diese Methoden sind effizienter als (geeignete) Standard-ODE-Integratoren im unteren und mittleren Genauigkeitsbereich. Insgesamt wurde eine geeignete und effiziente numerische Technik zur Simulation von TDR-Systemen entwickelt.
|