Die Arbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung von Methoden zur Approximation der Lösungen von Anfangs- und Anfangsrandwertaufgaben stochastischer partieller Differentialgleichungen. Wir verwenden finite Differenzenmethoden um die Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen vom Itô-Typ, insbesondere hyperbolische Differentialgleichungen, zu approximieren. Die wichtigsten Begriffe der finiten Differenzenmethoden im deterministischen Fall, nämlich die Konsistenz und die Stabilität, werden für den stochastischen Fall entwickelt. Es wird gezeigt, dass die vorgeschlagenen stochastischen Versionen der deterministischen Schemata diese Eigenschaften besitzen. In der deterministischen Theorie liefert der Satz von Lax-Richtmyer die Konvergenz eines Verfahrens genau dann, wenn das Verfahren konsistent und stabil ist. Wir zeigen eine schwache Version dieses Satzes von Lax-Richtmeyer, der uns zumindest die Existenz einer schwach konvergenten Teilfolge sichert, wenn das Verfahren konsistent und stabil ist. Weiterhin wird die von-Neumann Analysis, die uns ein notwendiges und hinreichendes Stabilitätskriterium mit Hilfe der Fourier-Transformation liefert, auf den stochastischen Fall übertragen. In Spezialfällen folgt dann die Stabilität der stochastischen Verfahren bereits aus der Stabilität der zugrunde gelegten deterministischen Verfahren. Man kann die Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen auch dadurch approximieren, dass man den Wiener-Prozess durch eine Folge von Prozessen mit stückweise differenzierbaren Trajektorien ersetzt. Dabei hat man den Vorteil, dass man auf die approximierenden Probleme realisierungsweise die Methoden der deterministischen Numerik anwenden kann. Die Konvergenz der Approximierenden gegen die Lösung erfolgt gleichmässig in Wahrscheinlichkeit. |