Gegenstand dieser Arbeit ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung eines Ionenaustauschers. Bei der Modellierung dieses Problems werden, neben den chemischen Reaktionen, die Transportprozesse der ionischen Spezies und der Einfluss elektrischer Felder auf diesen Stofftransport berücksichtigt. Die resultierenden Gleichungen liefern ein System von parabolischen Differentialgleichungen, die durch die Elektroneutralitätsbedingung (eine algebraische Gleichung) vervollständigt werden. Letztere Gleichung, notwendig zur Bestimmung der elektrischen Potenziale, ist äquivalent zu einem elliptischen Randwertproblem, so dass das betrachtete Problem als System elliptisch-parabolischer Differentialgleichungen angesehen werden kann. Dieses Randwertproblem ist insbesondere verantwortlich für die Nichtlinearität der Transmissionsrandbedingung, welche eine besondere Schwierigkeit darstellt und bisher nicht in der Literatur analytisch behandelt wurde. Unter geeigneten Voraussetzungen an die Systemgrößen, Anfangswerte und Nichlinearitäten wird die Existenz und Eindeutigkeit von lokalen (in der Zeit) starken Lösungen für das untersuchte Problem nachgewiesen. Die Idee des Beweises besteht darin, für das nichtlineare Problem ein verwandtes lineares Problem mit inhomogenen Randdaten herzuleiten und für dieses maximale Lp-Regularität nachzuweisen. Diese Eigenschaft ermöglicht die Umformulierung des nichtlinearen Problems in eine Fixpunktgleichung, die dann mit Hilfe des Kontraktionsprinzips gelöst werden kann. Entscheidend für dieses Vorgehen ist das Finden der Regularitäten der rechten Seiten, die notwendig und hinreichend sind für die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung im Raum der maximalen Regularität. Um die Notwendigkeit der Bedingungen an die Inhomogenitäten einzusehen, werden bekannte Spurensätzen verwendet. Für die Hinlänglichkeit benutzen wir die Methoden der Lokalisierung und Störung, welche das Ausgangsproblem auf Ganz- und Halbraumprobleme mit konstanten Koeffizienten zurückführen. Das Lösen dieser Gleichungen wird mit Hilfe von Sätzen über Operatorsummen (Dore-Venni-Theorie), reeller Interpolation, sowie dem vektorwertigen Multiplikatorensatz von Michlin gewährleistet.
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