Es werden verschiedene klassische Eigenwertprobleme der Ebene behandelt. Hauptschwerpunkte bilden zum einen endliche, zum anderen unendliche Summen reziproker Eigenwerte. Am Beispiel des Stekloffschen Eigenwertproblems im einfach zusammenhängenden Gebiet wird eine Methode entwickelt, mit deren Hilfe eine scharfe isoperimetrische Ungleichung für die ersten (n-1) nichttrivialen reziproken Eigenwerte des Gebietes D hergeleitet wird. Extremalgebiet ist der Kreis, welcher die Summe minimiert. Das Gleichheitszeichen wird genau für den Kreis angenommen. Die entwickelte Methode wird auf andere Eigenwertprobleme der Ebene sowie auf zweifach zusammenhängende Gebiete übertragen. Analoge Resultate werden angegeben. Mit Hilfe der Neumannschen Funktion im Falle des Stekloffproblems bzw. den entsprechenden Fundamentalfunktionen der jeweiligen Eigenwertprobleme wird eine Formel zur Berechnung hergeleitet. Es werden umfangreiche numerische Rechnungen durchgeführt. Im Falle der festen Membran werden für die Kardioide und verwandte Gebiete exakte Resultate gewonnen. Zahlreiche Monotonieaussagen werden bewiesen.
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