Die Lösung von Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten mit einem Transformationsgruppenansatz führt auf Differentialgleichungen in Lie-Gruppen. Zur numerischen Lösung dieser Probleme werden im ersten Teil Verfahren entwickelt, die auf dem Extrapolationsprinzip in Verbindung mit symmetrischen Grundverfahren basieren. Gezeigt wird die Gültigkeit einer asymptotischen Entwicklung des globalen Fehlers für Einschrittmethoden in Lie-Gruppen. Für symmetrische Verfahren wird eine Entwicklung des globalen Fehlers in geraden Potenzen der Schrittweite gezeigt. Zur Konstruktion effizienter Verfahren wird die explizite Mittelpunktregel auf Lie-Gruppen verallgemeinert und die Symmetrie des resultierenden Verfahrens bewiesen. Im Gegensatz zum euklidischen Raum ist in Lie-Gruppen zusätzlich eine approximative Auswertung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel notwendig, da die hergeleitete asymptotische Entwicklung in der Lie-Algebra gültig ist. Für den Abgleich der Koeffizienten sind Kalkulationen in bewerteten freien Lie-Algebren notwendig. Zu diesem Zwecke wurde das Paket GLIEALG für Mathematica entwickelt. Symbolisches Rechnen in bewerteten freien Lie-Algebren erlaubt die automatische Generierung der Ordnungsbedingungen. Deren Lösung resultiert in effizienten Approximationsformeln bis zur Ordnung 8. Numerische Tests am Toda-Gitter bestätigen die theoretischen Resultate. Der zweiten Teil widmet sich dem Einsatz hochspezialisierter Zeitintegrationsverfahren zur Lösung von Anwendungsproblemen. Eine geometrische Integrationsmethode - die Magnus-Methode - wird zur numerischen Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung eingesetzt. Zur Lösung steifer Systeme mit Nebenbedingungen (DAEs vom Index 1), die aus Problemen der Deformation viskoelastischer Körper resultieren, werden linear-implizite Verfahren mit Krylov-Raum-Techniken zum Einsatz gebracht. Im letzten Kapitel wird eine Problemstellung aus der Neurobiologie gelöst, wobei mathematische Modellierung, numerische Algorithmen und Fragen der parallelen Implementierung im Zusammenhang diskutiert werden.
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